Mozzarella in ein Sieb gießen, gut abtropfen lassen. Zwischen zwei Lagen Küchenpapier vorsichtig ausdrücken. Paprika halbieren, putzen und waschen, Stiele dabei stehen lassen. 2 EL Olivenöl in einer großen Pfanne erhitzen. Paprikahälften mit der Schnittkante nach unten darin ca. 2 Minuten braten. Aus der Pfanne nehmen, mit der Öffnung nach oben in eine ofenfeste Form setzen. Im vorgeheizten Backofen (E-Herd: 200 °C/ Umluft: 175 °C/ Gas: s. Hersteller) ca. 12 Minuten backen. Tomaten waschen. Paprika aus dem Ofen nehmen, Innenflächen mit Salz und Pfeffer würzen. Mozzarella halbieren. Vorsichtig je eine Mozzarellahälfte in die Paprikahälften drücken. Tomaten darauf verteilen. Nochmals bei gleicher Temperatur ca. 15 Minuten backen. Inzwischen Basilikum waschen, trocken schütteln, Blättchen von den Stielen zupfen. Knoblauch schälen und grob hacken. Käse grob reiben. Basilikum, bis auf etwas zum Garnieren, Knoblauch, Käse und Pinienkerne in einen hohen Rührbecher geben und fein pürieren. Dabei 8 EL Olivenöl einlaufen lassen. Mit Salz und Pfeffer abschmecken. Paprika aus dem Ofen nehmen, mit etwas Pesto anrichten. Mit Basilikum garnieren. Restliches Pesto dazureichen.